Родился А.Ш. Кичиков в пос. Бага-Чонос Манычского улуса Калмыцкой автономной области. До войны работал учителем русского языка в родном аймаке. 
В 1942 г. окончил Военно-авиационное училище в г. Грозном, добровольцем ушел на фронт, участвовал в обороне Северного Кавказа.

С 1943 г. по 1946 г. служил в составе войск Советской Армии в Иране. После демобилизации работал в системе народного образования Казахской ССР.

В связи с восстановлением автономии калмыцкого народа возвратился на родину и вначале возглавил Калмыцкое педагогическое училище в г. Черкесске, затем был зав. отделом культуры республиканской газеты «Хальмг Үнн».

В 1960 г. А. Ш. Кичикова пригласили работать на кафедру калмыцкого отделения при Ставропольском пединституте. В том же году он перешел на работу в КалмНЦ РАН и руководил созданным по его инициативе сектором фольклора и джангароведения.

В начале 70-х годов прошлого века А.Ш. Кичиков перешел на работу в Калмыцкий государственный университет, почти полностью сосредоточившись на преподавании и изучении калмыцкого фольклора и эпоса «Джангар». С именем А.Ш. Кичикова в калмыцкой науке связано многое: эпосоведение, лингвистика, лексикография, литературная критика, краеведение. Он является автором многих школьных учебников, учебно-методических пособий и учебных программ по калмыцкому языку и литературе.